Числа Фибоначчи, золотое сечение, фибоуровни

Автор: | 08.08.2018

Числа Фибоначчи, это ряд чисел, каждый член которого равен сумме двух предыдущих членов.

Начнем с нуля и единицы:

0, 1…

Складывая 0 и 1, получаем  1 и такой ряд:

0, 1, 1…

Теперь складываем 1 и 1, получаем 2, в ряд добавляется новый член:

0, 1, 1, 2…

Продолжая таким образом, получаем ряд:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584…

Продолжать это ряд можно до бесконечности.

Золотое сечение, это такая пропорция деления отрезка при которой отношение наибольшей части (a)к наименьшей (b) равно отношению самого отрезка к наибольшей части (L/a).

Получаем систему из двух уравнений:

   a/b=L/a;
a+b=L;

Допустим, что L равно 1:

   a/b=1/a;
a+b=1;

Что бы избавиться от знаменателей в первом уравнении, обе его части умножаем на a и на b, получаем:

a^2=b;

Из второго уравнения выражаем b:

b=1-a;

Подставляем его в первое выражение:

a^2=1-a;

Получилось квадратное уравнение, приводим его к стандартному виду:

a^2+a-1=0;

Решаем полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

D=1^2-4*1*(-1)=5;

Корни:

  1: (-1+sqrt(5))/2=0,61803398874989484820458683436564;
2: (-1-sqrt(5))/2=-1,6180339887498948482045868343656;

Положительный (первый корень) корень 0,618 является искомым значением. Его принято называть числом «Фи».

Если приведенный в начале статьи ряд продолжать до бесконечности, то отношение двух соседних членов будет равно Фи.

Значит длина отрезка a равна L*Фи, а длина отрезка b равна L*(1-Фи):

0,38196601125010515179541316563436;

Интересна закономерность в соотношении a/L и L/a:

a/L=0.618…;
L/a=1/0.618…=1,6180339887498948482045868343656;

Получается тоже самое число Фи, но увеличенное на 1.

Теперь, используя правило золотого сечения, разделим отрезки а и b, посчитаем их отношение к отрезку L. Деление отрезка a:

0.618…*0.618…=0,38196601125010515179541316563436;
0.618…*0.381…=0,23606797749978969640917366873128;

Деление отрезка b:

0.381…*0.618…=0,23606797749978969640917366873128;
0.381…*0.381…=0,14589803375031545538623949690308;

В результате получаем два новых коэффициента: 0.236… и 0.145… Такое деление можно продолжать бесконечно, умножая каждый новый член ряда на Фи:

1, 0.618, 0.382, 0.236, 0.145, 0.090, 0.056…

Аналогично, умножая каждый последующий член ряда на (Фи+1), можно продолжить ряд в сторону увеличения:

1, 1.618, 2.618, 4.236, 6.854, 11.090…

Теперь отрезок от уровня 1 до уровня 1, 1.618 поделим используя число Фи, в результате получим следующий ряд уровней:

1.618, 1.382, 1.236, 1.145…

Как видим, числа те же, что и в ряду получаемом при делении основного отрезка, но увеличенные на 1.

Если так же поделить отрезок от 1.618 до 2.618, получим ряд уровней:

2.618, 2,236, 1,854, 1,764…

Так же поделим отрезки 2.618-4.236, 4.236-6.854, 6.854, 11.090 и соберем их в таблицу, что бы посмотреть соотношение между соответствующими уровни с разных отрезков:

Теперь считаем соотношение между каждым уровнем и соответствующим ему уровнем с другого отрезка, то есть значение и ячейки делим на значение из ячейки расположенной слева от ней. Во всех случаях получаем 1.618…

В общем, как Пифагоровы штаны во все стороны равны, так и с числом Фи, как ни крути, везде одно фи…